O objetivo desta pesquisa é identificar os fundamentos da crença dos alunos na validade de uma afirmação em sua atividade matemática: o que eles reconhecem na prática como uma prova e como eles tratam uma refutação. Concentrou-se neste estudo nas relações entre o processo de comprovação dos alunos, os conhecimentos de que dispõem, a linguagem que podem utilizar e o papel do contexto situacional. Os tipos de processos de prova evidenciados pelos alunos não caracterizam intrinsecamente o que poderíamos chamar sua “racionalidade”, na medida em que diferentes níveis de prova puderam ser observados em sua atividade de resolução de problemas. O significado dos processos de prova não pode ser compreendido sem uma análise cuidadosa das concepções dos alunos sobre os conceitos matemáticos envolvidos e sua leitura da situação em que atuam. As características da situação parecem determinar o nível de comprovação, ao passo que a imagem que os alunos têm da matemática também desempenha um papel importante, principalmente no tratamento das refutações. Observa-se que a passagem de provas pragmáticas para provas intelectuais requer uma base cognitiva e linguística. Desprezar a complexidade desta passagem pode ser uma das principais razões para o fracasso do ensino da prova matemática, uma vez que esta passagem é muitas vezes considerada apenas no nível lógico. Em geometria em particular, este ensino ocorre em um campo conceitual que, para os alunos ainda, não se constituiu como uma teoria; já que a geometria era para eles essencialmente restrita à observação e construção de objetos geométricos sem necessidade de prova. Assim, o ensino da prova está associado ao que poderia ser descrito como uma quebra cognitiva na atividade do aluno, relacionada à quebra didática representada pela nova exigência de provas matemáticas.
The aim of this research is to identify the foundations of students' belief in the validity of a statement in their mathematical activity: what they recognize in practice as a proof and how they treat a refutation. This study focused on the relationships between the students' verification process, the knowledge they have, the language they can use and the role of the situational context. The types of proof processes evidenced by the students do not intrinsically characterize what we could call their “rationality”, insofar as different levels of proof could be observed in their problem solving activity. The meaning of proof processes cannot be understood without a careful analysis of students' conceptions of the mathematical concepts involved and their reading of the situation in which they operate. The characteristics of the situation seem to determine the level of substantiation, whereas the image that students have of mathematics also plays an important role, mainly in the treatment of rebuttals. It is observed that the passage from pragmatic proofs to intellectual proofs requires a cognitive and linguistic basis. Neglecting the complexity of this passage can be one of the main reasons for the failure of teaching mathematical proof, since this passage is often considered only at the logical level. In geometry in particular, this teaching takes place in a conceptual field that, for students, has not yet constituted itself as a theory; since geometry was for them essentially restricted to the observation and construction of geometric objects without the need for proof. Thus, the teaching of proof is associated with what could be described as a cognitive break in the student's activity, related to the didactic break represented by the new requirement for mathematical proofs.
El objetivo de esta investigación es identificar los fundamentos de la creencia de los estudiantes en la validez de un enunciado en su actividad matemática: lo que reconocen en la práctica como prueba y cómo tratan una refutación. Este estudio se centró en las relaciones entre el proceso de verificación de los estudiantes, los conocimientos que tienen, el lenguaje que pueden utilizar y el papel del contexto situacional. Los tipos de procesos de prueba que evidencian los estudiantes no caracterizan intrínsecamente lo que podríamos llamar su “racionalidad”, en la medida en que se pueden observar diferentes niveles de prueba en su actividad de resolución de problemas. El significado de los procesos de prueba no puede entenderse sin un análisis cuidadoso de las concepciones de los estudiantes sobre los conceptos matemáticos involucrados y su lectura de la situación en la que operan. Las características de la situación parecen determinar el nivel de fundamentación, mientras que la imagen que los estudiantes tienen de las matemáticas también juega un papel importante, principalmente en el tratamiento de las refutaciones. Se observa que el paso de las pruebas pragmáticas a las pruebas intelectuales requiere una base cognitiva y lingüística. Descuidar la complejidad de este pasaje puede ser una de las principales razones del fracaso de la enseñanza de la prueba matemática, ya que este pasaje a menudo se considera solo en el nivel lógico. En geometría en particular, esta enseñanza tiene lugar en un campo conceptual que, para los estudiantes, aún no se ha constituido como teoría; ya que la geometría estaba para ellos esencialmente restringida a la observación y construcción de objetos geométricos sin necesidad de demostración. Así, la enseñanza de la demostración está asociada a lo que podría describirse como un quiebre cognitivo en la actividad del alumno, relacionado con el quiebre didáctico que representa la nueva exigencia de las demostraciones matemáticas.
L'objectif de cette recherche est d'identifier les fondements de la croyance des élèves en la validité d'un énoncé dans leur activité mathématique : ce qu'ils reconnaissent en pratique comme preuve et comment ils traitent une réfutation. Cette étude s'est concentrée sur les relations entre le processus de vérification des élèves, les connaissances qu'ils possèdent, le langage qu'ils peuvent utiliser et le rôle du contexte situationnel. Les types de processus de preuve mis en évidence par les étudiants ne caractérisent pas intrinsèquement ce que l'on pourrait appeler leur « rationalité », dans la mesure où différents niveaux de preuve ont pu être observés dans leur activité de résolution de problèmes. La signification des processus de preuve ne peut être comprise sans une analyse minutieuse des conceptions des élèves sur les concepts mathématiques impliqués et leur lecture de la situation dans laquelle ils opèrent. Les caractéristiques de la situation semblent déterminer le niveau de justification, alors que l'image que les élèves se font des mathématiques joue également un rôle important, principalement dans le traitement des réfutations. On observe que le passage des preuves pragmatiques aux preuves intellectuelles nécessite une base cognitive et linguistique. Négliger la complexité de ce passage peut être l'une des principales raisons de l'échec de l'enseignement de la preuve mathématique, puisque ce passage n'est souvent considéré qu'au niveau logique. En géométrie en particulier, cet enseignement se déroule dans un champ conceptuel qui, pour les étudiants, ne s'est pas encore constitué en théorie ; puisque la géométrie était pour eux essentiellement restreinte à l'observation et à la construction d'objets géométriques sans besoin de preuve. Ainsi, l'enseignement de la preuve est associé à ce que l'on pourrait qualifier de rupture cognitive dans l'activité de l'élève, liée à la rupture didactique que représente la nouvelle exigence de preuves mathématiques.
